第二次
P54-56: 5,8,10,26
P54/5: 试作开圆盘 $\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ 与闭圆盘 $\{(x,y):x^2+y^2\leqslant 1\}$ 之间的一一对应.
对于 $\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ 可作双射 $\theta\to(\cos\theta,\sin\theta),\ \theta\in[0,2\pi)$
那么考虑 $(0,\frac 1 2)\to(0,1)$ 可作双射 $f_1(x)=2x$, $[\frac 1 2,1)\to[0,2\pi)$ 可作双射 $f_2(x)=4\pi(x-\frac 1 2)$.
除此之外, 我们保持恒等映射.
答案
P54/8: 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的实值函数. 如果对于任意的 $x_0\in\mathbb{R}$, 必存在 $\delta>0$, 使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时, 有 $f(x)\geqslant f(x_0)$, 试证明集合 $E=\{y:y=f(x)\}$ 是可数集.
根据有理数的稠密性, 存在 $q_1,q_2$ 满足 $x_0-\delta<q_1<x_0<q_2<x_0+\delta$, 于是我们可以作映射 $E\to \mathbb{Q}^2:y_0\mapsto (q_1,q_2)$. 下证该映射是单射. 假设有 $(q_1,q_2)=(p_1,p_2)$ 那么对 $x\in(q_1,q_2)$ 有 $f(x)\geqslant f(x_1)$, 又 $x_2\in(p_1,p_2)=(q_1,q_2)$ 则 $f(x_2)\geqslant f(x_1)$ 同理可得 $f(x_1)\geqslant f(x_2)$, 于是 $f(x_1)=f(x_2)$ 即 $y_1=y_2$. 所以 $\oll{E}\leqslant\oll{\mathbb{Q}^2}=\aleph_0$. 即 $E$ 可数.
证明
P54/10: 设 $E$ 是平面 $\mathbb{R}^2$ 中的可数集, 试证明存在互不相交的集合 $A$ 与 $B$, 使得 $E=A\cup B$, 且任一平行于 $x$ 轴的直线交 $A$ 至多是有限个点, 任一平行于 $y$ 轴的直线交 $B$ 至多是有限个点.
我们取 $A=\{(x_i,y_j):j\geqslant 1,i\leqslant j\}\cap E,B=\{(x_i,y_j):i\geqslant 1,j<i\}$.
显然有 $A\cap B=\varnothing,E=A\cup B$. 对于任一平行于 $x$ 轴的直线 $l:y=y_0$, 如果 $y_0\notin Y$, 显然 $l\cap A=\varnothing$, 否则 $\exists j,s.t.\ y_0=y_j\in Y$, 那么 $l\cap A=\{(x_i,y_j):i\leqslant j\}\cap E$ 至多有 $j$ 个元素.
证明
P56/26: 试问: 由 $\mathbb{R}$ 中的一切开集构成的集族的基数是什么?
另一方面, 考虑集合 $B=\{(p,q):p,q\in\mathbb{Q},p<q\}$, 有 $\oll{B}=\aleph_0$. 又 $\mathbb{R}$ 中的开集可以看作可数个互不相交的开区间的并集, 并且有任一开区间 $(a,b)$ 由有理数的稠密性, 都存在可数个有理开区间使其并集为 $(a,b)$. 存在一个单射 $E\to \mathscr P(B)$, 即 $\oll{E}\leqslant 2^{\aleph_0}=c$. 综上 $\oll{E}=c$.
答案