不等式
💡定理 6.1.1 Holder 不等式
设 $p$ 与 $p'$ 为共轭指标, 若 $f\in L^p(E),g\in L^{p'}(E)$, 则有
$$
\Vert fg\Vert_1\leqslant\Vert f\Vert_p\cdot \Vert g\Vert_{p'},\quad p>1
$$
📝证明
利用
$e^x$ 下凸, 得到不等式
$a^{1/p}b^{1/p'}\leqslant \frac a{p}+\frac b{p'}$.
取
$$
a=\frac{|f(x)|^p}{\Vert f\Vert_p^p},b=\frac{|g(x)|^{p'}}{\Vert g\Vert_{p'}^{p'}}
$$
可得
$$
\frac{|f(x)g(x)|}{\Vert f\Vert_p\cdot\Vert g\Vert_{p'}}\leqslant \frac 1 p \cdot\frac{|f(x)|^p}{\Vert f\Vert_p^p}+\frac 1{p'}\cdot\frac{|g(x)|^{p'}}{\Vert g\Vert_{p'}^{p'}}
$$
对上式两侧积分可得
$$
\frac{\Vert fg\Vert_1}{\Vert f\Vert_p\cdot\Vert g\Vert_{p'}}\leqslant 1
$$
故不等式成立.
💡定理 6.1.2 Holder 不等式变
设 $\frac p r$ 与 $\frac {p'} r$ 为共轭指标, 即满足 $\dfrac 1 r=\dfrac 1 p +\dfrac 1 {p'}$, 若 $f\in L^p(E),g\in L^{p'}(E)$, 则有
$$
\Vert fg\Vert_r\leqslant\Vert f\Vert_p\cdot \Vert g\Vert_{p'}
$$
📝证明
利用 Holder 不等式
$$
\begin{aligned}
& \int_E |f(x)g(x)|^r\text{d} x=\int_E |f(x)|^r |g(x)|^r\text{d} x\
&\leqslant \left(\int_E (|f(x)|^r)^{p/r}\text{d} x\right)^{r/p}\left(\int_E(|g(x)|^r)^{r/q}\text{d} x\right)^{r/q}
\end{aligned}
$$
再对上式开 $r$ 次根号即可得到
$$
\Vert fg\Vert_r\leqslant\Vert f\Vert_p\cdot\Vert g\Vert_q.
$$
💡定理 6.1.3 Minkowski 不等式
若 $f,g\in L^p(E),p>1$ 则
$$
\Vert f+g \Vert_p\leqslant \Vert f \Vert_p+\Vert g \Vert_p
$$
📝证明
$$
\begin{aligned}
&\int_E|f(x)+g(x)|^p\text{d} x\
\leqslant & \int_E|f(x)+g(x)|^{p-1}\cdot|f(x)+g(x)|\text{d} x\
\leqslant\int_E |f(x)+g(x)|^{p-1}\cdot|f(x)|\text{d} x \
&+ \int_E |f(x)+g(x)|^{p-1}\cdot |g(x)|\text{d} x
\end{aligned}
$$
取共轭指标 $p$ 和 $p'=\frac{p}{p-1}$ 对上式两个求和分别使用 Holder 不等式.
$$
\int_E |f(x)+g(x)|^{p-1}\cdot|f(x)|\text{d} x\leqslant \Vert f+g\Vert_p^{p-1}+\Vert f\Vert_p
$$
对另一部分同样如此, 再将 $\Vert f+g\Vert_p^{p-1}$ 约去即可.