补充内容
💡定理 4.3.1 依测度 Fatou 引理
设 $\{f_k(x)\}$ 是非负可测函数列且 $f_k(x)\stackrel{m.}{\longrightarrow} f(x)$ 则
$$
\int_E f(x)\text{d} x\leqslant\varliminf\limits_{k\to\infty} \int_E f_k(x)\text{d} x.
$$
📝证明
根据下极限的定义, 存在一个子列 $\{f_{k_i}(x)\}$ 使得
$$
\lim\limits_{i\to\infty}\int_E f_{k_i}(x)\text{d} x=\varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x,
$$
又 $\{f_k(x)\}$ 依测度收敛, 可得该子列也依测度收敛, 对其使用 Riesz 定理, 我们可以的到一个子列 $\{f_{k_j}(x)\}$ 满足积分极限与下极限相等并且几乎处处收敛到 $f(x)$. 再使用 Fatou 引理
$$
\int_E f(x)\text{d} x = \int_E \lim\limits_{j\to\infty}f_{k_j}(x)\text{d} x\leqslant \varliminf\limits_{j\to\infty }\int_E f_{k_j}(x)\text{d} x = \varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x.
$$
📝定义 4.3.2
设 $\{f_k(x)\}\subset L(E)$ 如果对 $\forall \varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 只要 $E$ 的可测子集 $e$ 满足 $m(e)<\delta$ 有
$$
\int_e|f_k(x)|\text{d} x<\varepsilon,\quad \forall k \geqslant 1
$$
称 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的等度可积函数列, $f_k(x)$ 在 $E$ 上的等度绝对连续的.
💡定理 4.3.3
设 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的等度可积函数列, 如果 $\{f_k(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$ 且 $m(E)<+\infty$ 则
$$
\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x = \int_E f(x)\text{d} x.
$$
📝证明
(1) 先证
$f(x)$ 可积, 由等度可积, 取
$\varepsilon=1$, 则存在
$\delta_1$ 使得
$\displaystyle\int_e |f_k(x)|\text{d} x<1,\ m(e)<\delta$, 于是我们可以将
$E$ 划分成有限个测度小于
$\delta_1$ 的部分 (例如用测度为
$\delta_1$ 的开矩体交
$E$). 那么存在
$N$ 有
$\displaystyle\int_E |f_k(x)|\text{d} x<N$.
又根据依测度收敛及 Riesz 定理, 存在一个几乎处处收敛的子列 $\{f_{k_i}(x)\}$, 该子列有积分小于 $N$, 从而说明其极限 $f(x)$ 积分小于 $N$.
(2) 由题设条件及积分的绝对连续性, 对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta_2>0$ 使得
$$
\int_e |f_k(x)|\text{d} x<\frac\varepsilon 3,\int_e|f(x)|\text{d} x<\frac \varepsilon 3\quad\forall m(e)<\delta_2
$$
根据依测度收敛, 存在 $k_0$ 使得 $k\geqslant k_0$ 时, 有
$$
m({x\in E:|f_k(x)-f(x)|> \frac\varepsilon{3m(E)}})<\delta_2
$$
记上述集合为 $E_\delta$, 从而有
$$
\int_E|f_k(x)-f(x)|\text{d} x=\int_{E\setminus E_\delta}|f_k(x)-f(x)|\text{d} x+\int_{E_\delta}|f_k(x)-f(x)|\text{d} x<\frac \varepsilon 3 + \frac \varepsilon 3+\frac\varepsilon 3=\varepsilon.
$$
从而
$$
\lim\limits_{k\to\infty} \left|\int_E f_k(x)-f(x)\text{d} x\right|\leqslant\lim\limits_{k\to\infty}\int_E|f_k(x)-f(x)|\text{d} x = 0
$$
即
$$
\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x.
$$