一般可测函数的积分
💡定理 4.1.1 积分的绝对连续性
若 $f\in L(E)$, 则对任给的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$, 使得当 $E$ 中子集 $e$ 的测度 $m(e)<\delta$ 时, 有
$$
\left|\int_e f(x)\text{d} x\right|\leqslant \int_e \left|f(x)\right| \text{d} x<\varepsilon.
$$
📝证明
不妨设, $f(x)$ 非负, 对给定的 $\varepsilon>0$, 存在可测函数 $\varphi(x),\ 0\leqslant \varphi(x)\leqslant f(x)\ (x\in E),$ 使得
$$
\int_E(f(x)-\varphi(x))\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x-\int_E \varphi(x)\text{d} x<\frac \varepsilon 2.
$$
现设 $\varphi(x)\leqslant M$, 取 $\delta=\varepsilon/(2M)$, 则当 $e\subset E$, 且 $m(e)<\delta$ 时, 就有
$$
\int_e f(x)\text{d} x=\int_e f(x)\text{d} x-\int_e \varphi(x)\text{d} x + \int_e\varphi(x)\text{d} x\leqslant \varepsilon.
$$
💡定理 4.1.2 控制收敛定理
设 $f_k\in L(E)$, 且有
$$
\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x),\mae x\in E.
$$
若存在 $E$ 上的可积函数 $F(x)$, 使得
$$
|f_k(x)|\leqslant F(x),\quad \mae x\in E,
$$
则
$$
\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x.
$$
📝证明
先说明
$f(x)$ 可积, 由
$\mae$ 收敛可知
$f(x)$ 可测, 又
$|f(x)|\leqslant F(x)$ 故可积.
设 $g_k(x)=|f_k(x)-f(x)|\leqslant 2F(x)$, 于是 $2F(x)-g_k(x)$ 非负, 对其使用 Fatou 引理
$$
\int_E\lim\limits_{k\to\infty} (2F(x)-g_k(x))\text{d} x\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E (2F(x)-g_k(x))\text{d} x
$$
又每个 $g_k(x)$ 均可积, 我们有
$$
-\int_E\lim\limits_{k\to\infty} g_k(x)\text{d} x\leqslant - \varlimsup\limits_{k\to\infty} \int_E g_k(x)\text{d} x
$$
即 $\displaystyle\varlimsup\limits_{k\to \infty}\int_Eg_k(x)\text{d} x = 0$.
于是
$$
\lim\limits_{k\to\infty}|\int_E f_k(x)-f(x)\text{d} x|\leqslant \lim\limits_{k\to\infty}\int_E g_k(x)\text{d} x =0.
$$
💡定理 4.1.3 依测度收敛型控制收敛定理
设 $f_k\in L(\mathbb{R}^n)$, 且 $f_k(x)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上依测度收敛于 $f(x)$. 若存在 $F\in L(\mathbb{R}^n)$, 使得
$$
|f_k(x)|\leqslant F(x),\quad \mae x\in\mathbb{R}^n,
$$
则 $f\in L(\mathbb{R}^n)$, 且有
$$
\lim\limits_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f_k(x)\text{d} x=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\text{d} x.
$$
💡推论 4.1.4
对于 $E$ 上依测度收敛于 $f\in L(E)$ 的非负可积函数列 $\{f_k(x)\}$, 若有
$$
\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x = \int_E f(x)\text{d} x,
$$
则
$$
\lim\limits_{k\to\infty}\int_E|f_k(x)-f(x)|\text{d} x=0.
$$
📝证明
构造函数
$g_k(x)=f(x)+f_k(x)-|f(x)-f_k(x)|$ 易知
$g_k(x)$ 非负, 利用 Riesz 找出一个几乎处处收敛的子列, 于是有
$\lim\limits_{j\to\infty}g_{k_j}(x)=2f(x)-|f(x)-f(x)|=2f(x)$.
对 $g_k(x)$ 使用 Fatou
$$
\int_E\varliminf\limits_{j\to\infty}g_{k_j}(x)\text{d} x\leqslant\varliminf\limits_{j\to\infty}\int_E g_{k_j}(x)\text{d} x
$$
于是得到 $$
\begin{aligned}
\int_E 2f(x)\text{d} x&\leqslant\varliminf\limits_{j\to\infty}\int_E f_k(x)+f(x)-|f_k(x)-f(x)|\text{d} x\
&=\int_E f(x)\text{d} x + \varliminf\limits_{j\to\infty}\int_Ef_{k_j}(x)\text{d} x+\varliminf\limits_{j\to\infty}\int_E-|f_k(x)-f(x)|\text{d} x
\end{aligned}
$$
又 $\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int_Ef_k(x)\text{d} x = \int_E f(x)\text{d} x$ 可得
$$
0\leqslant-\varlimsup\limits_{j\to\infty}\int_E|f_{k_j}(x)-f(x)|\text{d} x.$$
💡推论 4.1.5 逐项积分定理
设 $f_k\in L(E)$. 若有
$$
\sum\limits_{k=1}^\infty \int_E|f_k(x)|\text{d} x<+\infty,
$$
则 $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ 在 $E$ 上几乎处处收敛; 若记其和函数为 $f(x)$, 则 $f\in L(E)$, 且有
$$
\sum\limits_{k=1}^\infty \int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x.
$$
📝证明
作函数
$F(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty|f_k(x)|$, 由非负可测函数的逐项积分定理可知
$F(x)\in L(E)$, 从而
$F(x)$ 几乎处处有限, 即
$\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ 几乎处处收敛.
又 $|f(x)|\leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty |f_k(x)|=F(x),\mae x\in E$, 可知 $f\in L(E)$.
再令 $g_m(x)=\sum\limits_{k=1}^m f_k(x)$, $|g_m(x)|\leqslant F(x)$ 于是由控制收敛定理可知
$$
\int_E f(x)\text{d} x=\int_E\lim\limits_{m\to\infty}g_m(x)\text{d} x = \lim\limits_{m\to\infty}\int_E g_m(x)\text{d} x=\sum\limits_{k=1}^\infty \int_E f_k(x)\text{d} x.
$$
💡定理 4.1.6 积分号下求导
设 $f(x,y)$ 是定义在 $E\times(a,b)$ 上的函数, 它作为 $x$ 的函数在 $E$ 上的是可积的, 作为 $y$ 的函数在 $(a,b)$ 上的是可微的. 若存在 $F\in L(E)$, 使得
$$
\left|\frac{\text{d}}{\text{d} y}f(x,y)\right|\leqslant F(x),
$$
则
$$
\frac{\text{d}}{\text{d} y}\int_E f(x,y)\text{d} x=\int_E \frac{\text{d} }{\text{d} y}f(x,y)\text{d} x.
$$
📝证明
从定义出发
$$
|\frac{f(x,y+d_k)-f(x,y)}{d_k}|\leqslant F(x)
$$
利用控制收敛定理可得结论.