正测度集与矩体
定理 2.4.1
设 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的可测集, 且 $m(E)>0,0<\lambda<1$, 则存在矩体 $I$, 使得
$$
\lambda|I|<m(I\cap E).
$$
证明
不妨设 $m(E)<+\infty$, 对 $0<\varepsilon<(\dfrac 1 \lambda -1)m(E)$, 存在 L-覆盖 $\{I_k\}$, 有 $\sum\limits_{k=1}^\infty |I_k|<m(E)+\varepsilon=\dfrac 1 \lambda m(E).$ 从而一定存在 $k_0$, 使得 $\lambda|I_{k_0}|<m(I_{k_0}\cap E).$