2.1 可测集与borel集

显然有 $\lim\limits_{k\to\infty}m^*(E_k)\leqslant m^*(E).$ 故我们只需证反向不等式, 不妨设 $\lim\limits_{k\to\infty} m^*(E_k)<+\infty$. 令 $A_k=E_{k+1}\setminus E_k$, 易知 $d(A_{2j},A_{2j+2})>0$ 且 $E_{2k}\supset\bigcup\limits_{j=1}^{k-1} A_{2j}$, 可得 $$ m^(E_{2k})\geqslant m^\left(\bigcup\limits_{j=1}^{k-1}A_{2j}\right)=\sum\limits_{j=1}^{k-1}m^*(A_{2j}). $$ 于是有 $\sum\limits_{j=1}^\infty m^*(A_{2j})<+\infty.$ 同理有 $\sum\limits_{j=1}^{k-1}m^*(A_{2j-1})<+\infty$.

于是 $$ m^(E)\leqslant \lim\limits_{k\to\infty} m^(E_{2k})+\sum\limits_{j=k}^\infty m^(A_{2j})+m^(A_{2j+1})=\lim\limits_{k\to\infty}m^*(E_{k}). $$

由 $F^c$ 是开集, $T\setminus F\subset F^c$, 由引理可设 $F_k=\{x\in T\setminus F: d(x,F)\geqslant\frac 1 k\}$, 于是有 $\lim\limits_{k\to\infty}m^*(F_k)=m^*(T\setminus F)$.

于是根据 $d(F_k,T\cap F)>0$ 有, $$ m^(T)\geqslant m^((T\cap F)\cup F_k)=m^(T\cap F)+m^(F_k), $$ 再令 $k\to\infty$, $$ m^(T)\geqslant m^(T\cap F)+m^*(T\cap F^c). $$ 于是由可测集定义知 $F$ 是可测集.

若 $m(E)=+\infty$, 令 $E_k=E\cap B(0,k),\ E=\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k.$, 由 $m(E_k)<+\infty$, 故存在开集 $G_k$ 有 $E_k\subset G_k\wedge m(G_k\setminus E_k)<\dfrac{\varepsilon}{2^k}$, 于是取 $G=\bigcup\limits_{k=1}^\infty G_k$, 则 $G\supset E$, 且 $G$ 是开集. 并且 $$ m(G\setminus E)\leqslant m\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty m(G_k\setminus E_k)\right)\leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \frac \varepsilon {2^k}=\varepsilon. $$

(ii) 考虑对 $E^c$ 存在上述开集 $G$, 取 $F=G^c$, 则有 $m(E\setminus F)= m(G\setminus E^c)<\varepsilon$

(i) 取开集列 $G_k$, 满足 $m(G_k\setminus E)<\frac 1 k\wedge E\subset G_k$, 则 $H=\bigcap\limits_{k=1}^\infty G_k$ 是 $G_\delta$ 集, 又 $m(H\setminus E)<\frac 1 k$, 对任意 $k$ 成立, 故 $m(H\setminus E)=0$, 则取 $Z_1=H\setminus E$.

(ii) 取闭集列 $F_k$ 其余同理.