可测集与测度
📝定义 2.2.1
设 $E\subset\mathbb{R}^n$. 若对任意的点集 $T\subset\mathbb{R}^n$, 有
$$
m^(T)=m^(T\cap E)+m^*(T\cap E^c),
$$
则称 $E$ 为 Lebesgue 可测集, 简称为可测集, 其中 $T$ 称为试验集, 全体可测集称为可测集类, 简记为 $\mathscr{M}$.
🧾性质 2.2.2
[(i)]
-
$\varnothing\in\mathcal{M}$.
- 若
$E\in\mathcal M$, 则
$E^c\in\mathcal M$.
- 若
$E_1,E_2\in\mathcal M$, 则
$E_1\cup E_2,E_1\cap E_2,E_1\setminus E_2\in\mathcal{M}$.
- 若
$E_i\in\mathcal M$, 则其并集属于
$\mathcal M$. 更进一步的如果
$E_i\cap E_j=\varnothing (i\neq j)$ 则有
$$
m^
(\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i)=\sum\limits_{i=1}^\infty m^(E_i).
$$
- 当两个集合由一个可测集分离开时, 其外侧度有可加性. 即若
$E_1\in S,\ E_2\in S^c, S\in\mathcal{M}$
💡定理 2.2.3
若有递增可测集列 $E_1\subset E_2\subset \cdots E_k \subset,$ 则
$$
m\left(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\right)=\lim\limits_{k\to\infty} m(E_k).
$$
📝证明
若存在
$k_0$, 使得
$m(E_{k_0})=+\infty$, 则显然成立.
故假设 $m(E_k)<+\infty$. 由题设知 $E_k\setminus E_{k-1}$ 是互不相交的可测集且有 $m(E_k\setminus E_{k-1})=m(E_k)-m(E_{k-1})$.
令 $E_0=\varnothing$, 则有
$$
\lim\limits_{k\to \infty}E_k=\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k=\bigcup\limits_{k=1}^\infty (E_k\setminus E_{k-1}).
$$
再根据测度的可加性
$$
m(\lim\limits_{k\to\infty}E_k)=\sum\limits_{k=1}^\infty m(E_k\setminus E_{k-1})=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{i=1}^k m(E_k)-m(E_{k-1})=\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k).
$$
💡推论 2.2.4
若有递减可测集列 $E_1\supset E_2\supset \cdots E_k \supset$, 且\tr{存在 $k_0\geqslant 1\text{s.t.} m(E_{k_0})<+\infty$} 则
$$
m\left(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\right)=\lim\limits_{k\to\infty} m(E_k).
$$
📝证明
从 $k_0$ 开始, $E_{k_0}\setminus E_k$ 是递增列, 应用上面的定理可得
$$
m(\lim\limits_{k\to\infty} E_{k_0}\setminus E_{k})=\lim\limits_{k\to\infty}m(E_{k_0}\setminus E_{k}),
$$
$$
m(E_{k_0})-m(\lim\limits_{k\to\infty}E_k)=m(E_{k_0})-\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k),
$$
$$
m\left(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\right)=\lim\limits_{k\to\infty} m(E_k).
$$
ℹ️注 2.2.5
上述推论中红色条件必不可少, 否则有如下反例
$$
E_k=[k,+\infty),\ m\left(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\right)=0,\ \lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=+\infty.
$$
💡定理 2.2.6
若有可测集列 $\{E_k\}$, 且有 $\sum\limits_{k=1}^\infty m(E_k)<+\infty$, 则
$$
m\left(\varlimsup\limits_{k\to\infty} E_k\right)=0.
$$
📝证明
$$
m\left(\varlimsup\limits_{k\to\infty} E_k\right)=m\left(\lim\limits_{k\to\infty}\bigcup\limits_{j=k}^\infty E_j\right)=\lim\limits_{k\to\infty}m\left(\bigcup\limits_{j=k}^\infty E_j\right)\leqslant\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{j=k}^\infty m(E_i)=0.
$$
💡推论 2.2.7
设 $\{E_k\}$ 是可测集列, 则
$$
m\left(\varliminf\limits_{k\to\infty} E_k\right)\leqslant \varliminf\limits_{k\to \infty} m(E_k).
$$
$$
m\left(\varlimsup\limits_{k\to\infty} E_k\right)\geqslant \varlimsup\limits_{k\to \infty} m(E_k).
$$
其中第二条要求 $E_k<+\infty$.
📝证明
由
$$
m\left(\bigcap\limits_{j=k}^\infty E_j\right)\leqslant m(E_k),
$$
$$
m\left(\varliminf\limits_{k\to\infty} E_k\right)=m\left(\lim\limits_{k\to\infty}\bigcap\limits_{j=k}^\infty E_j\right)=\lim\limits_{k\to\infty}m\left(\bigcap\limits_{j=k}^\infty E_j\right)\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty}m(E_k).
$$