5.3 绝对连续函数与微积分基本定理

由 $f\in\mathrm{AC}([a,b])$, 取 $\varepsilon=1$, 存在 $\delta_1>0$, 使得满足 $\sum\limits_{j=1}^n (y_i-x_1)<\delta_1$ 的任意有限个不相交的区间有 $$ \sum\limits_{j=1}^n|f(y_i)-f(x_i)|<\varepsilon $$ 考虑取正整数 $N$ 满足 $\frac{b-a}{N}<\frac{\delta_1}{2}$, 那么可以将 $[a,b]$ 分为 $N$ 个区间 $[a,a+\frac 1 N(b-a)],(a+\frac 1N(b-a),a+\frac 2N(b-a)],\ldots,(b-\frac 1N(b-a),b]$, 则 $\bigvee\limits_{a}^b(f)=\sum\limits_{i=1}^n \bigvee\limits_{a+(i-1)(b-a)/N}^{a+i(b-a)/N}(f)$. 而在每个小区间上, 由于区间长度小于 $\frac {\delta_1} 2$, 从而对任意分划, 有总长度满足绝对连续于是 $\sum\limits_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|<1$, 从而有 $\bigvee\limits_{a}^b(f)\leqslant N<+\infty$. 即 $f\in\mathrm{BV}([a,b])$.