有界变差函数

定理 5.2.1 Jordan 分解定理

$f\in\mathrm{BV}([a,b])$ 当且仅当 $f(x)=g(x)-h(x)$, 其中 $g(x)$ 与 $h(x)$ 是 $[a,b]$ 上的递增函数.

证明

取 $$ g(x)=\frac 1 2(\bigvee\limits_{a}^x (f)+f(x)),h(x)=\frac 12\bigvee\limits_{a}^x(f)-f(x). $$

命题 5.2.2

设 $f\in\mathrm{BV}([a,b])$, 当 $f$ 连续时, 变差函数 $\bigvee\limits_a^x (f)$ 也连续.

证明

由 $f(x)$ 连续, 可得 $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\text{s.t.} |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon,\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta) $$ 以 $x>x_0$ 为例, 根据全变差的定义, 存在 $(x_0,x_0+\delta)$ 的一个分划 $\Delta:x_0<x_1<\cdots<x_n=x_0\delta$ 慢则 $$ \bigvee\limits_{x_0}^{x_0+\delta}<\sum\limits_{j=1}^n|f(x_j)-f(x_{j-1})|+\frac \varepsilon 2 $$ 并且有 $$ \sum\limits_{j=2}^n|f(x_j)-f(x_{j-1})|<\bigvee\limits_{x_1}^{x_0+\delta} $$ 据此我们可以推出 $$ \begin{aligned} \bigvee\limits_{x_0}^{x_1}(f)&=\bigvee\limits_{x_0}^{x_0+\delta}-\bigvee\limits_{x_1}^{x_0+\delta}\ &<\sum\limits_{j=1}^n |f(x_j)-f(x_{j-1})|+\frac \varepsilon 2+\sum\limits_{j=2}^n |f(x_j)-f(x_{j-1})|\ &=|f(x_1)-f(x_0)|+\frac \varepsilon 2<\varepsilon \end{aligned} $$

从而取 $\delta'=x_1$, 又 $\bigvee\limits_a^x(f)$ 单调, 则有 $|\bigvee\limits_a^x(f)-\bigvee\limits_a^{x_0}(f)|<\varepsilon,\forall x\in(x_0,x_0+\delta')$ 从而 $\bigvee\limits_a^x(f)$ 右连续, 同理可证其左连续.

例 5.2.3

若 $f\in\mathrm{BV}([a,b])$, 则 $f(x)$ 几乎处处可微, 且 $$ \frac{\text{d}}{\text{d} x}\bigvee\limits_a^x(f)=|f'(x)|,\quad\mae x\in [a,b]. $$ 根据 Lebesgue 定理 $\bigvee\limits_a^x (f)$ 递增, 于是 $$ \int_a^b|f'(x)|\text{d} x=\int_a^b \frac{\text{d}}{\text{d} x}\bigvee\limits_a^x(f) \text{d} x\leqslant \bigvee\limits_a^b(f) $$ 故 $f'(x)$ 可积.

证明

导数可积性考虑对变差函数使用 Lebesgue 定理.

5.2 有界变差函数

有界变差函数