单调函数的可微性
定理 5.1.1 Lebesgue
若 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的递增函数则 $f(x)$ 的不可微点为零测集, 且有
$$
\int_a^b f'(x)\text{d} x\leqslant f(b)-f(a).
$$
定理 5.1.2 Fubini 逐项微分
设 $\{f_n(x)\}$ 是 $[a,b]$ 上的递增函数列, 且 $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上收敛, 则
$$
\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\text{d}}{\text{d} x}f_n(x),\quad\mae x\in[a,b].
$$