定义及性质

可测函数的定义及性质

例 3.3.1

若 $f(x,y)$ 是定义在 $\mathbb{R}^2$ 上的实值函数, 且对固定的 $x\in \mathbb{R}$, $f(x,y)$ 是 $y\in\mathbb{R}$ 上的连续函数, 对固定的 $y\in\mathbb{R}$, $f(x,y)$ 是 $x\in\mathbb{R}$ 上的可测函数, 则 $f(x,y)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的可测函数.

证明

作函数 $f_n(x,y)=f(x,\frac k n), \frac {k-1}{n}<y\leqslant \frac k n$ 因为对任意 $t\in\mathbb{R}$ 有 $$ {(x,y)\in\mathbb{R}^2:f_n(x,y)<t}=\bigcup\limits_{k=-\infty}^\infty\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f(x,\frac k n)<t\right\rbrace\times \left(\frac {k-1} n, \frac k n\right], $$ 所以 $f_n(x,y)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的可测函数. 而由题设易知 $$ \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x,y)=f(x,y),\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2. $$

例 3.3.2 局部有界化

设 $0<m(A)<+\infty$, $f(x)$ 是 $A\subset\mathbb{R}^n$ 上的可测函数, 且有 $0<f(x)<+\infty,\mae x\in A$, 则对任给的 $\delta\in(0,m(A))$, 存在 $B\subset A$ 以及自然数 $k_0$, 使得 $$ m(A\setminus B)<\delta,\quad \frac 1 {k_0}\leqslant f(x)\leqslant k_0,\quad x\in B. $$

证明

记 $A_k=\{x\in A: \frac 1 k\leqslant f(x)\leqslant k\},Z_1=\{x\in A: f(x)=0\},Z_2=\{x\in A:f(x)=+\infty\}$, 易知 $m(Z_1)=m(Z_2)=0$, $$ A=\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\right)\cup Z_1\cup Z_2, \ A_k\subset A_{k+1} $$ 于是可知 $m(A_k)\to m(A)$, 从而存在 $k_0$, 使得 $m(A\setminus A_{k_0})<\delta$. 取 $B=A_{k_0}$ 即可.

定理 3.3.3 简单函数逼近定理

[(i)] - 若 $f(x)$ 是 $E$ 上的非负可测函数, 则存在非负可测的简单函数渐升列: $$ \varphi(x)\leqslant \varphi_{k+1}(x), $$ 使得 $$ \lim\limits_{k\to\infty}\varphi_k(x)=f(x) $$ - 若 $f(x)$ 是 $E$ 上的可测函数, 则存在可测简单函数列 $\{\varphi_k(x)\}$, 使得 $|\varphi_k(x)|\leqslant|f(x)|$, 且有 $$ \lim\limits_{k\to\infty} \varphi_k(x)=f(x),\quad x\in E. $$

若 $f(x)$ 有界, 则上述收敛均是一致的.

证明

将 $[0,k]$ 等分为 $k2^k$ 个区间, 每个区间去左端点为函数值.

3.3 定义及性质

可测函数的定义及性质