可测函数列的收敛
📝定义 3.2.1
设 $f(x),f_1(x),\cdots$ 是定义在 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上的广义实值函数. 若存在 $E$ 中的点集 $Z$, 且 $m(Z)=0$ 及
$$
\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x),\quad x\in E\setminus Z,
$$
则称 $\{f_k(x)\}$ 几乎处处收敛于 $f(x)$.
💡引理 3.2.2
设 $f(x),f_1(x),\cdots$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数, 且 $m(E)<+\infty$. 若 $f_k(x)\to f(x),\mae x\in E,$ 则对任给 $\varepsilon>0$, 令 $E_k(\varepsilon)=\{x\in E:|f_k(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon\},$ 有
$$
\lim\limits_{j\to\infty}m\left(\bigcup\limits_{k=j}^\infty E_k(\varepsilon)\right)=0.
$$
📝证明
显然有 $\displaystyle\bigcap\limits_{j=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j}^\infty E_k(\varepsilon)$ 中的点一定不是收敛点, 从而 $\displaystyle m\left(\bigcap\limits_{j=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j}^\infty E_k(\varepsilon)\right)=0$, 根据递减集合列的性质有
$$
\lim\limits_{j\to\infty}m\left(\bigcup\limits_{k=j}^\infty E_k(\varepsilon)\right)=m\left(\lim\limits_{j\to\infty}\bigcup\limits_{k=j}^\infty E_k(\varepsilon)\right)=0.
$$
{{< admonition tip "定理 Eropob" true >}} 设 $f(x),f_1(x),\cdots$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数, 且 $m(E)<+\infty$. 若 $f_k(x)\to f(x),\mae x\in E$, 则对任给的 $\delta>0$, 存在 $E$ 的可测子集 $E_\delta$: $m(E_\delta)\leqslant\delta$, 使得 $\{f_k(x)\}$ 在 $E\setminus E_\delta$ 一致收敛于 $f(x)$.
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📝证明
由引理可知
$\forall \varepsilon>0$, 有
$$
\lim\limits_{j\to\infty}m\left(\bigcup\limits_{k=j}^\infty E_k(\varepsilon)\right)=0.
$$
取数列
$\{\frac 1 i\}$, 则对任给的
$\delta>0$ 以及每一个
$i$, 存在
$j_i$, 使得
$\displaystyle m\left(\bigcup\limits_{k=j_i}^\infty E_k\left(\frac 1 i\right)\right)<\frac \delta{2^i}.$ 令
$\displaystyle E_\delta=\bigcup\limits_{i=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j_i}^\infty E_k\left(\frac 1i\right)$, 我们有
$$
m(E_\delta)\leqslant \sum\limits_{i=1}^\infty m\left(\bigcup\limits_{k=j_i}^\infty E_k\left(\frac 1i\right)\right)\leqslant \sum\limits_{i=1}^\infty \frac \delta{2^i}=\delta.
$$
下证在 $E\setminus E_\delta$ 上 $\{f_k(x)\}$ 一致收敛.
我们有
$$
E\setminus E_\delta=\bigcap\limits_{i=1}^\infty\bigcap\limits_{k=j_i}^\infty\left\lbrace x\in E:|f_k(x)-f(x)|<\frac 1 i\right\rbrace.
$$
对任给的 $\varepsilon>0$, 存在 $i$, 使得 $\frac 1i<\varepsilon$, 从而对一切 $x\in E\setminus E_\delta$, 当 $k\geqslant j_i$ 时, 有
$$
|f_k(x)-f(x)|<\frac 1 i<\varepsilon.
$$
即说明 $\{f_k(x)\}$ 在 $E\setminus E_\delta$ 上一致收敛.
📝定义 3.2.3
设 $f(x),f_1(x),\cdots$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数. 若对任给的 $\varepsilon>0$, 有
$$
\lim\limits_{k\to\infty}m({x\in E:|f_k(x)-f(x)|>\varepsilon})=0,
$$
则称 $\{f_k(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$.
💡定理 3.2.4
若 $\{f_k(x)\}$ 在 $E$ 上同时依测度收敛于 $f(x),g(x)$ 则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 对等.
💡定理 3.2.5
设 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数列, 且 $m(E)<+\infty$, 若 $\{f_k(x)\}$ 几乎处处收敛于 $f(x)$, 则 $\{f_k(x)\}$ 依测度收敛于 $f(x)$.
📝证明
使用引理 $\forall \varepsilon>0$, 有
$$
\lim\limits_{j\to\infty}m\left(\bigcup\limits_{k=j}^\infty {x\in E:|f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon}\right)=0,
$$
从而立即有
$$
\lim\limits_{k\to\infty}m({x\in E:|f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon})=0.
$$
💡定理 3.2.6
设 $f(x),f_1(x),\cdots$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数. 若对任给的 $\delta>0$, 存在 $E_\delta\subset E$ 且 $m(E_\delta)<\delta$, 使得 $\{f_k(x)\}$ 在 $E\setminus E_\delta$ 上一致收敛于 $f(x)$, 则 $\{f_k(x)\}$ 依测度收敛于 $f(x)$. 若还有 $m(E)<+\infty$, 则 $\{f_k(x)\}\to f(x)\mae, x\in E$.
📝证明
对任给的
$\varepsilon,\delta>0$, 存在
$E_\delta\subset E$ 且
$m(E_\delta)<\delta$, 以及自然数
$k_0$, 当
$k\geqslant k_0$ 时, 有
$$
|f_k(x)-f(x)|<\varepsilon,\quad x\in E\setminus E_\delta,
$$
由此可知
$\{x\in E:|f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}\subset E_\delta$. 于是得到依测度收敛.
若取 $\delta=\frac 1 k$, $E^*=\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_{1/k}$, 则易知 $f(x)$ 在 $E\setminus E^*$ 上逐点收敛, 且 $m(E^*)\leqslant E_{1/k}<\frac 1k$, 于是 $m(E^*)=0$, 即 $f_k(x)\to f(x),\mae x\in E\setminus E^*$.
📝定义 3.2.7
设 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数列. 若对任给的 $\varepsilon>0$, 有
$$
\lim\limits_{k\to\infty \atop j\to\infty} m({x\in E:|f_k(x)-f_j(x)|>\varepsilon})=0,
$$
则称 $\{f_k(x)\}$ 为 $E$ 上的依测度 Cauchy 列.
💡定理 3.2.8
若 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的依测度 Cauchy 列, 则在 $E$ 上存在几乎处处有限的可测函数 $f(x)$, 使得 $\{f_k(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$.
💡定理 3.2.9 Riesz
若 $\{f_k(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$, 则存在子列 $\{f_{k_i}(x)\}$, 使得
$$
\lim\limits_{i\to\infty} f_{k_i}(x)=f(x),\quad\mae x\in E.
$$