第一章
习题 1.1
- 求下列复数 $z$ 的模 $|z|$ 与辐角的主值 $\arg z$.
- (1) $z=\sqrt 3+\text{i}$.
- (2) $z=\dfrac{1+\text{i}}{1-\text{i}}$.
📝答案
- (1)
$|z|=2,\ \arg z=\dfrac{\pi}{6}$.
- (3)
$z=\text{i},\ |z|=1,\ \arg z=\dfrac{\pi}{2}$.
- 求下列方程的根:
$(2)\ z^2=\sqrt{1+i}$.
📝答案
利用棣莫弗定理,
$1+\text{i}=2^{\frac 1 2}(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{4})$, 故
$(1+\text{i})^{\frac 1 2}=2^{\frac 1 4}(\cos\dfrac{\pi}{8}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{8})$.
所以 $\arg z = \dfrac{\frac{\pi}{8}+2k\pi}{2},\quad k=0,1$ 且 $|z|=2^{\frac 1 8}$.
$z_1=2^{\frac 1 8}(\cos\dfrac{\pi}{16}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{16}),$
$z_2=2^{\frac 1 8}(\cos\dfrac{9\pi}{16}+\text{i}\sin\dfrac{9\pi}{16})$.
- 求二次方程 $z^2+2\text{i} z-1+i=0$ 的两个根.
📝答案
$(z+\text{i})^2=-\text{i} \Rightarrow z=-\text{i}\pm\sqrt{-i}\Rightarrow z=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}(-1+\mp\dfrac{\sqrt{2}}{2})$.
- 设 $z=x+\text{i} y$, 其中 $x$ 与 $y$ 分别是 $z$ 的实部与虚部. 证明
$$
\dfrac{1}{\sqrt 2}(|x|+|y|)\leqslant|z|\leqslant(|x|+|y|).
$$
📝答案
等价于证明
$\dfrac{1}{2}(|x|+|y|)^2\leqslant (x^2+y^2)\leqslant(|x|+|y|)^2$.
对于第二个小于等于, 直接展开可以得到 $0\leqslant 2|x||y|$. 显然成立.
对于第一个小于等于, 展开可得 $2|x||y|\leqslant x^2+y^2\Leftrightarrow 0\leqslant (|x|-|y|)^2$ 显然成立.
- 设 $z_1$ 与 $z_2$ 是任意两个复数. 证明等式
$$
|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2),
$$
并说明其几何意义.
📝答案
$$
\begin{aligned}
|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 &= (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})+(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}) \
&= 2|z_1|^2+2|z_2|^2 + z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}-z_2\overline{z_1}-z_1\overline{z_2} \
&= 2(|z_1|^2+|z_2|^2).
\end{aligned}
$$
几何意义就是平行四边对角线长度平方和等于四边长度平方和.
- 设 $|\alpha|<1,|\beta|<1$, 证明不等式:
$$
\left|\dfrac{\alpha-\beta}{1-\overline{\alpha}\beta}\right|<1.
$$
📝答案
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow & |\alpha-\beta|^2<|1-\overline{\alpha}\beta|^2\
\Leftrightarrow & (\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})<(1-\overline{\alpha}\beta)(1-\alpha\overline{\beta})\
\Leftrightarrow & |\alpha|^2+|\beta|^2-\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta<1+|\alpha|^2|\beta|^2-\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta\
\Leftrightarrow & 0<(1-|\alpha|^2)(1-|\beta|^2).
\end{aligned}
$$
由 $|\beta|,|\alpha|<1$ 可知最后一步成立, 所以不等式成立.
- 设 $|\alpha|<1,|\beta|=1$, 证明等式:
$$
\left|\dfrac{\alpha-\beta}{1-\overline{\alpha}\beta}\right|=1.
$$
📝答案
$|1-\overline{\alpha}\beta|=|\overline{\beta}\beta-\overline{\alpha}\beta|=|\overline{\beta}-\overline{\alpha}||\beta|=|\alpha-\beta|$.
习题 1.2
- 在下列集合中, 哪些是区域? 哪些不是区域?
- (1) $\{z:|z-\text{i}|<|5+\text{i}|\}$.
- (2) $\{z:0<|z+1+\text{i}|\leqslant 2\}$.
- (3) $\left\{z:\left|\dfrac{z-1}{z+1}\right|<1\right\}$.
- (4) $\{z=x+\text{i} y:y\neq\sin\dfrac{1}{x}\}$.
- (5) $\mathbb{C}\backslash[0,1]$.
- (6) $\mathbb{C}\backslash (1,+\infty)$.
📝答案
- (1) 是.
- (2) 不是, 因为边界
$2$ 不是开集.
- (3) 是,
$x>0$.
- (4) 不是, 如果
$x=0$ 时属于这个集合, 那么考虑
$(0,0)$ 不是内点, 集合不是开集. 如果不属于, 那么集合不连通, 被
$x=0$ 和
$y=\sin\dfrac 1 x$ 分成四个部分.
- (5) 是.
- (6) 不是.
- $x=x(t),y=y(t)$ 是区间 $(0,1)$ 上的两个连续的实函数, 则我们称映射
$$
\gamma:(0,1)\to\mathbb{C},\ t\mapsto z(t)=x(t)+\text{i} y(t)
$$
的像为一条曲线. 试举出一条曲线 $\gamma:t\mapsto z(t)$, 它有下列性质: 当 $t\to0$ 时 $z(t)$ 没有极限. 这样的例子表明: 一条曲线可能无端点可言.
📝答案
取 $z(t)=t+\text{i}\sin\dfrac 1 t$.
- 设有集合 $E:=\{z=x+\text{i} y\in\mathbb{C}:x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{Q}\}$, 其中 $\mathbb{Q}$ 是全体有理数的集合. 证明该集合没有一个内点, 且其聚点集合 $E'=\mathbb{C}$.
📝答案
$\forall z_0=x_0+\text{i} y_0\in\mathbb{C},\forall \varepsilon>0,\exists z=x+\text{i} y\in\mathbb{C} s.t.\ |z-z_0|<\varepsilon$, 根据有理数的稠密性, 所以 $\mathbb{C} \subseteq E'\Rightarrow E'=\mathbb{C}$, 同样的根据无理数的稠密性, 也一定存在 $z=x+\text{i} y\in\mathbb{C},x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q},\ s.t. |z-z_0|<\varepsilon$. 所以 $E$ 中无内点.
- 设 $\{z_n\}$ 是一个复数序列. 若存在一个收敛子序列 $\{z_{n_k}\}$, 则其极限 $\zeta=\lim\limits_{k\to\infty}z_{n_k}$ 被称作原来序列的一个极限点. 试举出一个序列, 其极限点集合是整个复平面.
📝答案
根据有理数的可数性, 集合 $\{z=x+\text{i} y:x,y\in\mathbb{Q}\}$ 也是可数集, 所以我们可以把这个集合排成一列, 而对于复平面上的每个点 $w$, 由于有理数的稠密性, 我们一定可以选取一个无穷子列 $\{z_{n_k}\}$ 满足 $|w-z_{n_k}|<\dfrac{1}{k}$ 从而极限是 $w$.