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复数域与复数的几何表示

复数域

定义 1.1.1

复数及其运算, 共轭复数, 复数的模等定义与高中相同.

按照数域的定义, 可以验证全体复数组成数域, 称之为复数域, 记作 $\mathbb{C}$.

关于模和共轭复数的一些性质:

$$ \begin{aligned} |z_1z_2|=|z_1||z_2|;\quad \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|};\\ |z|=|\overline{z}|;\quad |z|^2=z\overline{z};\\ \overline{(\overline{z})}=z;\quad \overline{(z_1\pm z_2)}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2};\\ \overline{(z_1z_2)}=\overline{(z_1)}\overline{(z_2)};\quad \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}};\\ \t{Re} (z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2};\quad \tIm(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2\t{i}} \end{aligned} $$

例 1.1.2

$|z_1-z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2-2\t{Re}(z_1\overline{z_2})$.

例 1.1.3

证明实系数多项式的复根总是成对出现.

证明

考虑 $\alpha$ 是实系数多项式 $P(z)$ 的一个根, 那么 $$ \begin{aligned} P(\overline{\alpha}) &= a_0\overline{\alpha}^n+\cdots+a_n\ &=a_0\overline{\alpha^n}+\cdots+a_n\ &=\overline{a_0\alpha^n+\cdots+a_n}\ &=\overline{P(\alpha)}=\overline{0}=0. \end{aligned}$$

复数的几何表示

定义 1.1.4

考虑平面直角坐标系上的点 $(x,y)$ 对应到复数 $z=x+y\text{i}$ 那么就称之为复平面. 并称 $x$ 轴为实轴, $y$ 轴为虚轴.

考虑复平面上点 $P(x,y)$ 引出的向量 $\overrightarrow{OP}$, 该向量与实轴正方向的夹角称为复数 $z=x+y\text{i}$ 的辐角, 记作 $\Arg(z)=\theta_0+2k\pi\quad(k=0,\pm 1,\cdots)$.

@@ADMONITION_START@@type=info&open=true&title=%E6%B3%A8@@ 非零复数的辐角是有向角. 即这是一个周期值, 与圈数有关. 并定义逆时针旋转为正值.

为了统一辐角, 我们规定 $-\pi<\theta\leqslant\pi$. 并称在这个范围内辐角为俯角主值, 记作 $\arg(z)$. @@ADMONITION_END@@

有了辐角的定义, 设 $\theta$ 是复数 $z$ 的辐角, 则有 $$ z=|z|(\cos\theta+\text{i}\sin\theta). $$

三角不等式: $$ ||z_1|-|z_2||\leqslant|z_1-z_2|\leqslant|z_1|+|z_2| $$ $$ ||z_1|-|z_2||\leqslant|z_1+z_2|\leqslant|z_1|+|z_2| $$

乘除法的几何意义: [leftmargin=3cm] - 乘法: 模长相乘, 辐角相加. - 除法: 模长相除, 辐角相减.

定理 1.1.5 棣莫弗 (De Moivre)

$(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)^n=\cos n\theta+\text{i}\sin n\theta$.

有了上述定理下面考虑计算复数的开方:

设 $z_1^n=z_2$, 则有 $z_1^n=|z_1|^n(\cos n\theta+\text{i}\sin n\theta)=z_2$.

即 $\arg(z_1)=\dfrac{\arg(z_2)+2k\pi}{n}\quad k=0,1,\ldots,n-1$. 共 $n$ 个根.

无穷远点与扩充复平面

定义 1.1.6

把复平面的无穷远设想为一个点, 称之为无穷远点, 并记作 $\infty$.

我们约定, $\infty$ 的模是无穷, 而其辐角没有意义.

无穷远点的计算: - (1) 加法: $\alpha+\infty=\infty+\alpha=\infty\quad (\alpha\neq\infty)$. - (2) 减法: $\alpha-\infty=\infty-\alpha=\infty\quad (\alpha\neq\infty)$.

定义 1.1.7

添加了无穷远点的复平面称为扩充复平面或黎曼球面, 记作 $\overline{\mathbb{C}}$.