复变量函数的极限与连续性
假定 $z_0\in\mathbb{C}$ 是给定的一点, 而 $\omega=f(z)$ 在 $z_0$ 的一个去心邻域 $\{z:0<|z-z_0|<r\}$ 内有定义. 如果存在一个常数 $l$, 对于任意给定的 $\varepsilon>0$, 总存在一个实数 $\delta>0\ (\delta<\varepsilon)$ 使得
$$
|f(z)-l|<\varepsilon
$$
记作 $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=l$.
定义 2.1.1
复数中极限定义与实数有区别, 因为复数是在二维平面内, 所以其极限可以从任意方向逼近. 可以类比 $\mathbb{R}^2$ 中的极限, 但并不完全一样.
复数极限仍满足四则运算.
定理 2.1.2
设 $f(z)=u(x,y)\text{i} v(x,y)$, $A=u_0+\text{i} v_0,\ z_0=x_0+\text{i} y_0$, 那么 $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A$ 的充要条件是
$$
\lim\limits_{\substack{x\to x_0\y\to y_0}}u(x,y)=u_0\wedge \lim\limits_{\substack{x\to x_0\y\to y_0}}v(x,y)=v_0
$$
.