绪论

定义 1

称如下形式的方程为偏微分方程, 对于自变量 $x,y$

$$ F(x,y,\ldots,u(x,y\ldots), u_x, u_y,\cdots)=0 $$

其中 $u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$ 以此类推.

已知 $F$, 求解 $u(x,y,\ldots)$.

定义 2

线性: 每项系数与未知函数及其导数无关.

$$ u_{xx}+u_{yy}+u_x+u_y=u^2 $$

半线性: 最高阶导数项的系数与未知函数及其导数无关. $$ u_{xx}+u_{yy}+u^3 u_x=u^2 $$

拟线性: 最高阶导数项系数与未知函数的最高阶导数无关. $$ |\nabla u|^2(u_{xx}+u_{yy})=f(x,y) $$ 其中 $\nabla u=(u_x,u_y,\ldots)^T$.

完全非线性: 最高阶导数项系数与未知函数大的最高阶导数有关. $$ u_{xx}^2=u $$

例 3

拉普拉斯算子 $\Delta = \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\partial ^2}{\partial x_i^2}$

从而引出方程 $\Delta u =0$. 位势方程 (电势等)

注 4

物理变量分为两类, 时间 t, 空间 x,y,z.

一般梯度 $\nabla$ 对时间, 拉普拉斯算子 $\Delta$ 对空间.

例 5

热传导方程 $u_t-a^2\Delta u=0$.

例 6

波动方程 $u_{tt}-a^2\Delta u=0$.

$a$ 指波的传播速度.

定义 7

经典解: 对一个 PDE 如果有函数具有方程所需要的各阶偏导数, 且带进方程后等式成立, 则称该函数为此 PDE 的经典解.

定义 8

初值条件: $t=0$ 时刻的状态. $\begin{aligned} u(\bm x,0)&=\varphi(\bm x)\\ u_t(\bm x,0)&=\psi(\bm x) \end{aligned}$

边界条件: 分为三类, 具体说法差异根据不同情景有变化. - 第一类 Dirichlet. 边界 $\partial \Omega$ 上的变化 $u\big|_{\partial\Omega}=g(\bm x,t)$. - 第二类 Neuman. 已知边界上的方向导数. $k\dfrac{\partial u}{\partial\bm n}\Bigg |_{\partial\Omega}=g(\bm x,t)$ 其中 $\bm n$ 是边界上每点的单位法向量. - 第三类 Robin. 边界函数与其导数的线性组合. $\left(k\dfrac{\partial}{\partial\bm n}+\alpha\right) u\Bigg |_{\partial\Omega}=g(\bm x,t)$.

初始条件和边界条件统称定解条件, PDE 和与之对应的定解条件组成定解问题.

初值问题: PDE + 初值条件 (一般定义域在整个 $\mathbb{R}^n$ 上).

混合问题: PDE + 初值条件+边界条件.

定义 9

适定性 $\begin{cases} \text{存在性}\\ \text{唯一性}\\ \text{稳定性} \end{cases}$