变分原理

定义 1

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 是区域, 定义在 $\Omega$ 上的无穷次可微且在边界上为零的函数记作 $C_0^\infty(\Omega)$.

例 2

对定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的函数. $$\rho(x)=\begin{cases} ke^{-1/(1-|x|)},\quad& |x|<1 \\ 0,\quad & |x|\geqslant 1 \end{cases}$$

特别的, 在二维平面中, 我们可以固定 $k$, 使得 $$ \iint_{\mathbb{R}^2}\rho(x,y)\text{d} x\text{d} y=1 $$

定义 $\rho_n(x,y)=n^2\rho(nx,ny)$. 从而有 $$\begin{aligned} &\rho_n(x,y) \in C_0^\infty (\mathbb{R}^2)\\ &\iint_{\mathbb{R}^2} \rho_n(x,y)\text{d} x\text{d} y=1 \end{aligned}$$ 且 $\sqrt{x^2+y^2}\geqslant \frac 1 n$ 时 $\rho_n=0$.

引理 3

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中有界区域, $f(x,y)$ 在 $\Omega$ 上连续, 如果 $\forall\varphi(x,y)\in C_0^\infty(\Omega)$, $$ \iint_\Omega f(x,y)\varphi(x,y)\text{d} x\text{d} y=0, $$ 则 $f(x,y)$ 在 $\Omega$ 上恒为零.

定义 4

给定函数集合 $$ M_\varphi={v|v\in C^1(\overline{\Omega}),v|_{\partial \Omega}=\varphi}, $$ 求 $u\in M_\varphi$, 使得 $J(u)=\min\limits_{v\in M_\varphi}J(v)$.

$J(v)$ 是定义在集合 $M_\varphi$ 上的泛函, $J:M_\varphi\to\mathbb{R}$. 这样一个求泛函的极值问题称为变分问题.

$M_\varphi$ 称为变分问题的允许函数类, 或称为定义域.

命题 5

必要条件: 定义 $M_0=\{v|v\in C^1(\overline{\Omega}),v|_{\partial \Omega}=0\}$ 则 $\forall v\in M_0,\forall \varepsilon\in (-\infty,+\infty)$, 有 $u+\varepsilon v\in M_\varphi$.

定义 $j(\varepsilon)=J(u+\varepsilon v)$ 是 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 的可微函数. 必有 $$ j(\varepsilon)\geqslant j(0),\forall v\in\mathbb{R} \Rightarrow j'(0)=0 $$

故一个必要条件是 $j'(0)=0$.

如果满足 $j''(0)>0$ 则该条件是充分的.

定理 6 散度定理

(n 维) $$ \int_\Omega \nabla\cdot F\text{d} V=\int_{\partial\Omega}F\cdot n\text{d} S. $$

取 $F=(P,Q)$ 即得二维情形.

(二维) 设 $P,Q$ 足够光滑, 则 $$ \iint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\text{d} x\text{d} y=\int_{\partial \Omega}(P,Q)\cdot n \text{d} S=\int_{\partial \Omega}P n_1+Q n_2\text{d} S $$

定理 7 Green 第一公式

(n 维) 设 $u,v$ 足够光滑, $\Omega\in\mathbb{R}^n$, 则 $$ \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\text{d} \vec x=-\int_\Omega (\Delta u)v\text{d} \vec x+\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \vec n}v\text{d} S. $$ $\frac{\partial u}{\partial \vec n}=\nabla u\cdot \vec n$.

特别的, 设 $v=1$ 可得 $$ \int_\Omega (\Delta u)\text{d} \vec x=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \vec n}\text{d} S=\int_{\partial \Omega}\nabla u\cdot\vec n \text{d} S $$

极小曲面问题

定义 8

取变分问题中 $$ J(v)=\iint_\Omega\sqrt{1+v_x^2+v_y^2}\text{d} x\text{d} y $$ 就称该问题为极小曲面问题.

按过程求解后可得方程 $$ \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right]+\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right]=0 $$ 等价于 $$ (1+u_y^2)u_{xx}-2u_xu_y\cdot u_{xy}+(1+u_x^2)u_{yy}=0 $$

再验 $j''(0)$ 恒大于 0.

$$ j''(\varepsilon) = \iint_{\Omega} \frac{ v_x^{2}+v_y^{2} +\bigl[v_y\,(u_x+\varepsilon v_x)-v_x\,(u_y+\varepsilon v_y)\bigr]^2 }{ \left[1+(u_x+\varepsilon v_x)^2+(u_y+\varepsilon v_y)^2\right]^{3/2} } \,dx\,dy. $$

注 9

当 $|u_x|,|u_y|\ll 1$ 时, 可近似看作方程 $u_{xx}+u_{yy}=0$, 即极小曲面 $u=u(x,y)$ 可近似看作 Laplace 方程的第一边值问题.

膜平衡问题

膜平衡问题: $$ J(v)=\frac T2\iint_\Omega (v_x^2+v_y^2)\text{d} x\text{d} y-\iint_\Omega f(x,y)v(x,y)\text{d} x\text{d} y-\int_\Gamma p(s)v(s)\text{d} s. $$

推导出的 Euler 方程 $j'(0)=0$ 有 $\forall v\in M_0$, $$ T\iint_\Omega\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}\text{d} x\text{d} y\right)-\iint_\Omega fv \text{d} x\text{d} y-\int_\Gamma pv\text{d} s=0 $$

应用 Green 公式得到 $$ -\iint_\Omega (T\Delta u+f)v\text{d} x\text{d} y+\int_\Gamma\left(T\frac{\partial u}{\partial n}-p\right)v\text{d} s=0. $$

先取 $v\in C_0^\infty(\Omega)$ 得到 $$ -\iint_\Omega(T\Delta u+f)v\text{d} x\text{d} y=0 $$ 从而由 $v$ 任意性得到 $-T\Delta u=f$.

再带回原式有 $$ \int_\Gamma\left(T\frac{\partial u}{\partial n}-p\right)v\text{d} s=0 $$ 同理可得 $T\dfrac{\partial u}{\partial n}=p.\quad (\Gamma)$.

\begin{practicec}

题目

设 $$ J(v)=\frac 1 2\int_\Omega (|\nabla v|^2+v^2)\text{d} x+\frac 12 \int_{\partial \Omega} \alpha(x)v^2\text{d} s-\int_\Omega fv\text{d} x-\int_{\partial\Omega}gv\text{d} s $$ 其中 $\alpha(x)\geqslant 0$ 考虑以下三个问题: - I 变分问题: 求 $u\in M=C^1(\overline{\Omega})$, 使得 $$ J(u)=\min\limits_{v\in M}J(v). $$ - II 求 $u\in M=C^1(\overline{\Omega})$, 使得它对于任意 $v\in M$, 都满足 $$ \int_\Omega (\nabla u\cdot\nabla v+u\cdot v-fv)\text{d} x+\int_{\partial\Omega}(\alpha(x)uv-gv)\text{d} s=0. $$ - III 第三边值问题: 求 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$, 满足以下边值问题 $$\begin{cases} -\Delta u+u=f, & x\in\Omega,\\ \dfrac{\partial u}{\partial n}+\alpha(x)u=g, & x\in\partial \Omega. \end{cases}$$ - (1) 证明问题 I 与问题 II 等价. - (2) 当 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$ 时, 证明问题 I,II,III 等价.

证明

- (1) $\Rightarrow$: 令 $j(\varepsilon)=J(u+\varepsilon v)$, $u\in M, v\in M$. 那么有 $$ j'(0)=\int_\Omega \nabla v\cdot \nabla u+vu\text{d}\vec x+\int_{\partial \Omega} \alpha u v\text{d} \vec x-\int_\Omega fv\text{d} \vec x-\int_{\partial\Omega} gv\text{d} \vec x=0 $$ 即 $$ \int_\Omega (\nabla u\cdot\nabla v+u\cdot v-fv)\text{d} x+\int_{\partial\Omega}(\alpha(x)uv-gv)\text{d} s=0. $$ 再验证 $j''(\varepsilon)=\int_\Omega(|\nabla v|^2+v^2)\text{d}\vec x+\int_{\partial\Omega}\alpha v^2\text{d} \vec x> 0$.

$\Leftarrow$: 令 $w=v-u\in M$, 考虑 $$ J(u+w)-J(u)=\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla w+uw+\frac{1}{2}(|\nabla w|^2+w^2)\text{d}\vec x+\int_{\partial\Omega}\alpha (uw+\frac12 w^2)\text{d}\vec x-\int_{\Omega} fw\text{d}\vec x-\int_{\partial\Omega} gw\text{d}\vec x. $$ 由条件带入 $v=w$.

得到 $$ J(u+w)-J(u)=\frac12\int_\Omega(|\nabla w|^2+w^2)\text{d}\vec x+\frac12\int_{\partial \Omega}\alpha w^2\text{d}\vec x\geqslant 0 $$ 从而问题 II 的解 $u$ 是 $J(u)$ 的最小值点.

综上问题 I, II 等价. - (2) II $\Rightarrow$ III: 取 $v\in C_0^2$, 由 Green 公式 $$ \int_\Omega (\nabla u\cdot\nabla v+uv-fv)\text{d}\vec x=\int_\Omega (-\Delta u+u-f)v\text{d} x=0 $$ 那么由 $v$ 任意可得 $-\Delta u+u=f$. 再带回 II 得到 $$ \int_{\partial \Omega}(\frac{\partial u}{\partial n}+\alpha u-g)v\text{d} s=0 $$ 从而 $\dfrac{\partial u}{\partial n}+\alpha u=g$.

III $\Leftarrow$ II: 由 Green 公式, 可得 II 条件成立.

\end{practicec}