23 级强基期中
时间: 2025.11.7
任课老师: 高正焕
题目
(15') 设 $$ J(v)=\int_\Omega |Dv|^2\,dx $$
其中 $\Omega\subset\mathbb R^2$, 设 $M_\varphi=\{v\in C^1(\Omega): v|_{\partial\Omega}=\varphi\}$, $\varphi$ 是 $\partial\Omega$ 上的函数.
证明当 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline\Omega)$ 时, 变分问题 $$ J(u)=\min_{v\in M_\varphi}J(v) $$ 等价于以下边值问题:
求 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline\Omega)$ 使得 $$ \begin{cases} \Delta u = 0,\quad x\in\Omega,\ $$ 4pt] u=\varphi,\quad x\in\partial\Omega. \end{cases} $$
题目
(20') 考虑波动方程的 Cauchy 问题 $$ \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=f(x,t),\qquad \mathbb R\times (0,+\infty),\ $$ 3pt] u(x,0)=\varphi(x),\ u_t(x,0)=\psi(x),\qquad -\infty<x<+\infty. \end{cases} $$
1) 设四条特征线围成平行四边形 $ABCD$ 在上半平面, 设 $u$ 是 $f=0$ 时的解, 证明 $$ u(A)+u(C)=u(B)+u(D). $$
2) 设 $f(x,t)=x-t$, $\varphi(x)=x^2$, $\psi(x)=0$, 求解该问题.
题目
(10') 叙述一维波动方程混合问题广义解的定义.
题目
(15') 证明以下 Sturm-Liouville 问题不同特征值对应的特征函数正交:
题目
(40') 考虑混合问题 $$ \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=f(x,t),\qquad (0,\pi)\times (0,+\infty),\ $$ 3pt] u(0,t)=u(\pi,t)=0,\qquad t\geqslant 0,\ $$ 3pt] u(x,0)=\sin x,\qquad 0\leqslant x\leqslant\pi,\ $$ 3pt] u_t(x,0)=0,\qquad 0\leqslant x\leqslant\pi. \end{cases} $$ - (10') $f=0$ 时, 求 $E(1)$, 其中 $$ E(\tau)=\frac12\int_0^\pi (u_t^2(x,\tau)+u_x^2(x,\tau))\,dx. $$ - (15') 假设 $0<t<T$, 证明存在只和 $T$ 有关的常数 $M$, 使得 $$ \int_{[0,\pi]\times[0,\tau]} (u_t^2+u_x^2)\text{d} x \text{d} t \leqslant M\left( \int_{[0,\pi]\times[0,\tau]} f^2(x,t)\text{d} x\text{d} t + 1\right) $$ - (15') $f(x,t)=\sin x\sin \omega t$ 时, 求解该方程, 并证明当 $\omega=\pm1$ 时, $u$ 在 $(0,\pi)\times(0,+\infty)$ 上无界。