20251224
姓名: 刘欣楠
序号: 12
班级: 数学强基 2301
学号: 2233310237
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\node[anchor=north east]
at ($(current page.north east)+(-25mm,-50mm)$)
{
};
\end{tikzpicture}
11
考虑一维边值问题
$$
\begin{cases} -\dfrac{d^{2}u}{dx^{2}}+q(x)u=f(x), \qquad 0<x<1,\ $$ 4pt] u(0)=u(1)=0. \end{cases}
$$
- (1) 设 $\displaystyle \sup_{[0,1]}|u(x)|\le M_{0}$，$q(x),\,f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界，则有 $ |u'(0)|,\quad |u'(1)|\le C_{1}, $
其中 $C_{1}$ 只依赖于 $q(x),\,f(x)$ 的界与 $M_{0}$。 - (2) 进一步假设 $q(x)\in C^{1}[0,1]$，$f(x)\in C^{1}[0,1]$，$u\in C^{1}[0,1]\cap C^{3}(0,1)$，则 $ |u'(x)|\le C_{2}, $
其中 $C_{2}$ 只依赖于 $M_{0}$，$\|q\|_{C^{1}[0,1]}$，$\|f\|_{C^{1}[0,1]}$。
$$ g(x)=f(x)-q(x)u(x),\qquad |g|{\infty}\le |f|M_0.}+|q|_{\infty $$ 用 $-u''=g,\ u(0)=u(1)=0$ 的 Green 函数 $$ G(x,s)=
\begin{cases}
x(1-s),& x\le s,\
s(1-x),& x\ge s,
\end{cases} $$ 得
$
u(x)=\int_0^1 G(x,s)g(s)\,ds.
$ 于是 $$ u'(0)=\int_0^1 (1-s)g(s)\,ds,\qquad
u'(1)=-\int_0^1 s\,g(s)\,ds, $$ 从而 $$ |u'(0)|\le \frac12|g|{\infty},\qquad |u'(1)|\le \frac12|g|. $$ 取 $C_1=\dfrac12\bigl(\|f\|_{\infty}+\|q\|_{\infty}M_0\bigr)$ 即可. (2)\ 由方程
$
u''=q(x)u-f(x),
$ 得
$
|u''|{\infty}\le |q|.
$}M_0+|f|_{\infty 再由
$
u'(x)=u'(0)+\int_0^x u''(t)\,dt
$ 可得 $$ |u'|{\infty}\le |u'(0)|+|u''|\le C_1+|q|{\infty}M_0+|f|. $$ 令 $C_2=C_1+\|q\|_{C^{1}[0,1]}M_0+\|f\|_{C^{1}[0,1]}$ 即得结论.
证明
12
设 $u,v\in C^{2}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$，且是以下方程组
$$
\begin{cases} -\Delta u+2u-v=f(x), \qquad x\in\Omega,\ -\Delta v+2v-u=g(x), \qquad x\in\Omega, \end{cases}
$$
满足边界条件 $ u\big|{\partial\Omega}=v\big|=0 $ 的解，试证明
$$
\max\left{\sup_{\Omega}|u(x)|,\ \sup_{\Omega}|v(x)|\right} \le \max\left{\sup_{\Omega}|f(x)|,\ \sup_{\Omega}|g(x)|\right}.
$$
先证上界. 设
$
U=\max\Bigl{\sup_{\Omega}u,\ \sup_{\Omega}v\Bigr}.
$
若 $U\le 0$ 则显然. 若 $U>0$，取点 $x_0$ 使得 $U=\max\{u(x_0),v(x_0)\}$.
若 $x_0\in\partial\Omega$，则 $U=0$ 矛盾. 故 $x_0\in\Omega$. 若 $U=u(x_0)\ge v(x_0)$，则 $\Delta u(x_0)\le 0$，从而 $$ 0\le -\Delta u(x_0)=f(x_0)-2u(x_0)+v(x_0)\le M-U, $$ 得 $U\le M$.
若 $U=v(x_0)\ge u(x_0)$ 同理得 $U\le M$.
故
$
\sup_{\Omega}u\le M,\qquad \sup_{\Omega}v\le M.
$ 再对 $-u,-v$ 应用同样论证得到
$
\inf_{\Omega}u\ge -M,\qquad \inf_{\Omega}v\ge -M.
$ 综上 $|u|\le M,\ |v|\le M$，结论成立.
证明
13
设 $c(x)\ge c_0>0,\ \alpha(x)\ge 0$，$u\in C^{2}(\Omega)\cap C^{1}(\overline{\Omega})$ 是问题 $(2.12)$ 的解，则有估计
$$
\int_{\Omega}\bigl|\nabla u(x)\bigr|^{2}\,dx +\frac{c_{0}}{2}\int_{\Omega}\bigl|u(x)\bigr|^{2}\,dx +\int_{\partial\Omega}\alpha(x)\,u^{2}(x)\,dl \le M\int_{\Omega}\bigl|f(x)\bigr|^{2}\,dx,
$$
其中 $M$ 也仅依赖于 $c_{0}$。
$$ \int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\,dx+\int_{\Omega}c(x)u^{2}\,dx+\int_{\partial\Omega}\alpha(x)u^{2}\,dl
=\int_{\Omega}f\,u\,dx. $$ 由 $c(x)\ge c_0$ 得 $$ \int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\,dx+c_0\int_{\Omega}u^{2}\,dx+\int_{\partial\Omega}\alpha u^{2}\,dl
\le \int_{\Omega}f\,u\,dx. $$ 用不等式 $$ \int_{\Omega}f\,u\,dx\le \frac{1}{2c_0}\int_{\Omega}f^{2}\,dx+\frac{c_0}{2}\int_{\Omega}u^{2}\,dx $$ 并移项即得 $$ \int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\,dx+\frac{c_0}{2}\int_{\Omega}u^{2}\,dx+\int_{\partial\Omega}\alpha u^{2}\,dl
\le \frac{1}{2c_0}\int_{\Omega}f^{2}\,dx. $$ 取 $M=\dfrac{1}{2c_0}$.
证明
14
考虑定解问题
$$
\begin{cases} -\Delta u+\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i(x)\,\dfrac{\partial u}{\partial x_i}+c(x)u=f(x), \qquad x\in\Omega,\ $$ 6pt] u\big|_{\partial\Omega}=0. \end{cases}
$$
如果 $c(x)-\frac14\sum_{i=1}^{n} b_i^2(x)>0,$ 试用能量模估计方法证明上述边值问题解的唯一性。
$$ \int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\,dx+\int_{\Omega}c\,u^{2}\,dx+\int_{\Omega}\Bigl(\sum_{i=1}^n b_i u_{x_i}\Bigr)u\,dx=0. $$ 估计一阶项 $$ \Bigl|\Bigl(\sum_{i=1}^n b_i u_{x_i}\Bigr)u\Bigr|
\le |b||\nabla u||u|
=2|\nabla u|\cdot \frac{|b||u|}{2}
\le |\nabla u|^{2}+\frac14|b|^{2}u^{2}. $$ 故 $$ \int_{\Omega}\Bigl(\sum_{i=1}^n b_i u_{x_i}\Bigr)u\,dx
\ge -\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\,dx-\frac14\int_{\Omega}|b|^{2}u^{2}\,dx. $$ 代回得 $$ 0\ge \int_{\Omega}\Bigl(c-\frac14|b|^{2}\Bigr)u^{2}\,dx. $$ 由 $c-\frac14|b|^{2}>0$ 得 $u\equiv 0$，故解唯一.
证明
15
设 $u\in C_0^3(\Omega)$ 且满足 $$ -\Delta u=f(x),\quad x\in\Omega, $$ 证明 $$ \sum\limits_{i,j=1}^n \int_\Omega u_{x_ix_j}^2\text{d} x\leqslant n\int_\Omega f^2\text{d} x. $$
$$ \int_\Omega u_{x_ix_j}^2\,dx
=\int_\Omega u_{x_ix_i}\,u_{x_jx_j}\,dx. $$ 于是 $$ \sum_{i,j=1}^n \int_\Omega u_{x_ix_j}^2\,dx
=\sum_{i,j=1}^n \int_\Omega u_{x_ix_i}\,u_{x_jx_j}\,dx
=\int_\Omega \Bigl(\sum_{i=1}^n u_{x_ix_i}\Bigr)^2\,dx
=\int_\Omega (\Delta u)^2\,dx
=\int_\Omega f^2\,dx. $$ 从而 $$ \sum_{i,j=1}^n \int_\Omega u_{x_ix_j}^2\,dx\le n\int_\Omega f^2\,dx. $$证明