8

记 $R:=\operatorname{diam}(\Omega)$，取一点 $x_0$ 使得 $\overline{\Omega}\subset B_R(x_0)$。 令

$$

F:=\sup_{\Omega}|f|,\quad B_1:=\sup_{\Gamma_1}|\varphi_1|,\quad B_2:=\sup_{\Gamma_2}|\varphi_2|,

$$

并取二次函数 $ b(x):=\frac{F}{2n}\bigl(R^2-|x-x_0|^2\bigr)\ge 0\qquad(x\in\Omega). $ 则在 $\Omega$ 内有 $-\Delta b=F$，且

$$

0\le b\le \frac{F}{2n}R^2,\qquad \left|\frac{\partial b}{\partial n}\right| \le |\nabla b| =\frac{F}{n}|x-x_0| \le \frac{F}{n}R\quad \text{于 }\partial\Omega.

$$

取常数 $ K:=B_2+\frac{B_1+\frac{F}{n}R}{\alpha_0}. $

考虑 $ w:=u-b-K. $ 在 $\Omega$ 中

$$

-\Delta w+c(x)w =\bigl(-\Delta u+c u\bigr)-\bigl(-\Delta b\bigr)-c(b+K) =f-F-c(b+K)\le |f|-F\le 0.

$$

在 $\Gamma_2$ 上，由 $u=\varphi_2$ 得

$$

w|_{\Gamma_2}=\varphi_2-b-K\le B_2-0-K\le 0.

$$

若 $w$ 在 $\overline{\Omega}$ 取得正最大值，则不可能在 $\Omega$ 内部，只能发生在 $\Gamma_1$ 上某点 $x^\ast$。 此时有 $\dfrac{\partial w}{\partial n}(x^\ast)\ge 0$，从边界条件 $ \frac{\partial w}{\partial n}+\alpha w =\varphi_1-\frac{\partial b}{\partial n}-\alpha(b+K) $

在 $x^\ast$ 处得到

$$

\alpha(x^\ast)\, w(x^\ast) \le \varphi_1(x^\ast)-\frac{\partial b}{\partial n}(x^\ast)-\alpha(x^\ast)(b(x^\ast)+K) \le B_1+\frac{F}{n}R-\alpha_0 K\le 0,

$$

从而 $w(x^\ast)\le 0$，与 $w(x^\ast)>0$ 矛盾。故 $w\le 0$ 于 $\overline{\Omega}$，即

$$

u\le b+K\le \frac{F}{2n}R^2+B_2+\frac{B_1+\frac{F}{n}R}{\alpha_0}.

$$

同理对 $-u$ 重复上述过程，得 $ -u\le b+K, $ 于是

$$

\max_{\overline{\Omega}}|u| \le \frac{F}{2n}R^2+B_2+\frac{B_1+\frac{F}{n}R}{\alpha_0} \le C(\alpha_0,R)\,(F+B_1+B_2),

$$

其中 $C(\alpha_0,R)$ 仅依赖于 $\alpha_0$ 与 $R=\operatorname{diam}(\Omega)$。证毕。

令

$$

M:=\max\Big{|l|,\ \max_{\partial\Omega}|\varphi|\Big}.

$$

任取 $\varepsilon>0$。由 $\lim_{|x|\to\infty}u(x)=l$，存在 $R_\varepsilon$ 使得当 $|x|\ge R_\varepsilon$ 时

$$

|u(x)-l|<\varepsilon\quad\Rightarrow\quad |u(x)|\le |l|+\varepsilon\le M+\varepsilon.

$$

对任意 $R\ge R_\varepsilon$，记截断外域

$$

\Omega_R:=\Omega\cap B_R(0),

$$

其边界由 $\partial\Omega$ 与球面 $S_R:=\partial B_R(0)$ 的一部分组成。 在 $\partial\Omega$ 上 $|u|=|\varphi|\le M\le M+\varepsilon$； 在 $S_R\cap\Omega$ 上 $|u|\le M+\varepsilon$。 另一方面，$u$ 满足

$$

-\Delta u+c(x)u=0,\qquad c(x)\ge 0,

$$

故对 $\pm u$ 可用弱最大值原理推出

$$

\max_{\overline{\Omega_R}}|u|\le \max_{\partial\Omega_R}|u|\le M+\varepsilon.

$$

令 $R\to\infty$ 得 $\sup_{\Omega}|u|\le M+\varepsilon$，再令 $\varepsilon\to 0$ 即得结论。

记 $M:=\max\{M_0,\ \sup_{\partial\Omega}|\varphi|\}$。任取 $\varepsilon>0$。 由 $\varlimsup_{P\to P_0}|u(P)|\le M_0\le M$，存在 $\delta>0$ 使得当 $P\in\Omega$ 且 $|P-P_0|<\delta$ 时 $ |u(P)|\le M+\varepsilon. $

令 $ \Omega_\delta:=\Omega\setminus \overline{B_\delta(P_0)}. $

则 $u$ 在有界域 $\Omega_\delta$ 内调和，且其边界由两部分组成：

$$

\partial\Omega_\delta=\bigl(\partial\Omega\setminus B_\delta(P_0)\bigr)\ \cup\ \bigl(\partial B_\delta(P_0)\cap\Omega\bigr).

$$

在第一部分上 $|u|=|\varphi|\le M\le M+\varepsilon$； 在第二部分上由构造得 $|u|\le M+\varepsilon$。 对调和函数 $u$，由最大值原理对 $\pm u$ 应用，得

$$

\max_{\overline{\Omega_\delta}}|u|\le \max_{\partial\Omega_\delta}|u|\le M+\varepsilon.

$$

令 $\delta\downarrow 0$ 得 $\sup_{\Omega}|u|\le M+\varepsilon$，再令 $\varepsilon\downarrow 0$ 即得所证。

设 $u_1,u_2$ 是两个有界解，令 $v:=u_1-u_2$，则 $ -\Delta v=0\quad\text{于 }\mathbb{R}^2_+,\qquad v(x,0)=0\ (x\in\mathbb{R}), $ 并且 $v$ 有界。我们证 $v\equiv 0$。

按提示取 $ \psi(x,y):=\ln!\bigl(x^2+(y+1)^2\bigr). $ 由于奇点 $(0,-1)$ 不在上半平面内，故 $\psi$ 在 $\mathbb{R}^2_+$ 上调和，即 $\Delta\psi=0$。 对任意 $\varepsilon>0$，定义 $ w_\pm(x,y):=\varepsilon\,\psi(x,y)\pm v(x,y). $ 则 $w_\pm$ 在 $\mathbb{R}^2_+$ 上调和。

在边界 $y=0$ 上， $ w_\pm(x,0)=\varepsilon\ln(x^2+1)\pm v(x,0)=\varepsilon\ln(x^2+1)\ge 0. $ 又因为 $\psi(x,y)=\ln(x^2+(y+1)^2)\to +\infty$ 当 $x^2+y^2\to\infty$， 而 $v$ 有界，所以对每个固定 $\varepsilon>0$，存在 $R_\varepsilon$ 使得在半圆边界 $ \partial\bigl(\mathbb{R}^2_+\cap B_R(0)\bigr)\cap{y>0} $ 上有 $w_\pm\ge 0$。

于是对有界域 $D_R:=\mathbb{R}^2_+\cap B_R(0)$，$w_\pm$ 在 $D_R$ 调和且边界非负， 由最小值原理得 $w_\pm\ge 0$ 于 $\overline{D_R}$。令 $R\to\infty$ 得 $ \varepsilon\,\psi(x,y)\pm v(x,y)\ge 0\quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2_+. $ 即 $ -\varepsilon\,\psi(x,y)\le v(x,y)\le \varepsilon\,\psi(x,y). $ 对固定点 $(x,y)$，令 $\varepsilon\to 0^+$，得到 $v(x,y)=0$。故 $u_1\equiv u_2$，唯一性得证。