20251202
姓名: 刘欣楠
序号: 12
班级: 数学强基 2301
学号: 2233310237
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\node[anchor=north east]
at ($(current page.north east)+(-25mm,-50mm)$)
{
};
\end{tikzpicture}
22
求圆 $B(R)$ 上满足以下边条件的调和函数 (其中 A, B 常数): - (1) $u(R,\theta)=A\cos\theta$; - (2) $u(R,\theta)=A+B\sin\theta$; - (3) $u(R,\theta)=A\sin^2\theta+B\cos^2\theta$.
比较系数得只有 $n=1$ 的余弦项存在：
$
a_1 R = A.
$ 故
$
u(r,\theta)=\frac{A}{R}r\cos\theta.
$ (2) 边界条件 $u(R,\theta)=A+B\sin\theta$。 由傅里叶系数比较得
$
a_0=A,\qquad b_1=\frac{B}{R}.
$ 因此
$
u(r,\theta)=A+\frac{B}{R}r\sin\theta.
$ (3) 边界条件 $u(R,\theta)=A\sin^2\theta+B\cos^2\theta$。 利用
$
\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2},\quad
\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2},
$ 得
$
u(R,\theta)=\frac{A+B}{2}+\frac{B-A}{2}\cos2\theta.
$ 故在圆内的调和函数包含常数项和 $r^2\cos2\theta$ 项：
$
u(r,\theta)=a_0+r^2 a_2\cos2\theta.
$ 比较系数得到
$
a_0=\frac{A+B}{2},\qquad a_2=\frac{B-A}{2R^2}.
$ 因此
$
u(r,\theta)=\frac{A+B}{2}+\frac{B-A}{2}\frac{r^2}{R^2}\cos2\theta.
$
答案
23
证明第二边值问题 $$\begin{cases} \Delta u=0, & r<a,\ \dfrac{\partial u}{\partial r}\big|_{r=a}=\varphi(\theta) & \end{cases} $$ 的解当 $\mint[0]^{2\pi}\varphi(\theta)\text{d} \theta=0$ 时可表成 $$ u(r,\theta)=-\dfrac{a}{2\pi}\int_0^{2\pi} \varphi(\alpha)\ln(a^2+r^2-2ar\cos(\alpha-\theta))\text{d}\alpha + C,$$ 其中 $C$ 为任意常数.
提示: $w(x,y)=r\dfrac{\partial u}{\partial r}$ 是调和函数.
可直接计算得
$
\Delta w=0.
$ 并且在边界 $r=a$ 上，
$
w(a,\theta)=a\varphi(\theta).
$ 因此 $w$ 是圆盘内满足 Dirichlet 边值的调和函数，由 Poisson 公式 $$ w(r,\theta)
= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}
\frac{a^2-r^2}{a^2+r^2-2ar\cos(\theta-\alpha)}\,
a\varphi(\alpha)\,d\alpha. $$ 由
$
u_r = \frac{w}{r},
\quad
u(r,\theta)=C+\int_0^r \frac{w(\rho,\theta)}{\rho}\,d\rho,
$
进行积分，并利用 $$ \int_0^r
\frac{a^2-\rho^2}{\rho\,(a^2+\rho^2-2a\rho\cos(\theta-\alpha))}\,d\rho
= -\ln(a^2+r^2-2ar\cos(\theta-\alpha)) + \text{(与 $\alpha$ 无关)} $$ 由于题设条件 $$ \int_0^{2\pi}\varphi(\alpha)\,d\alpha=0, $$ 使得与 $\alpha$ 无关的部分积分后消失。 最终得到 $$ u(r,\theta)
= -\frac{a}{2\pi}\int_0^{2\pi}
\varphi(\alpha)\ln(a^2+r^2-2ar\cos(\alpha-\theta))\,d\alpha + C. $$证明
29
设 $u(r,\theta)$ 是圆 $B(R)$ 外的有界调和函数, 令 $$ v(r,\theta)=u(\frac{R^2}{r},\theta). $$ 试证 $v(r,\theta)$ 是圆 $B(R)$ 内的调和函数. 由此解第一类外部边值问题 $$\begin{cases} \Delta u=0, & (x,y)\in \mathbb{R}^2\setminus \overline{B(R)},\\ v|_{\partial B(R)}=\varphi(x,y), & \\ u \text{有界}. & \end{cases}$$
定义
$
v(r,\theta)=u!\left(\frac{R^2}{r},\theta\right),\qquad 0<r<R.
$ 设
$
\rho=\frac{R^2}{r}.
$ 带入可得 $$ \Delta v(r,\theta)=\left(\frac{\rho^4}{R^4}\right)
\Delta u(\rho,\theta). $$ 由于 $u$ 在外部区域调和，$\Delta u=0$，故
$
\Delta v=0.
$ (2) 求外部 Dirichlet 问题的解： 在 $r=R$ 上
$
v(R,\theta)=u(R,\theta)=\varphi(\theta).
$ 因此 $v$ 是内部 Dirichlet 问题的解，可用 Poisson 公式： $$ v(r,\theta)=
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}
\frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2Rr\cos(\theta-\alpha)}\,
\varphi(\alpha)\,d\alpha. $$ 由 Kelvin 变换 $$ u(r,\theta)=v!\left(\frac{R^2}{r},\theta\right),
\qquad r>R, $$ 代入上式化简得外部 Poisson 公式： $$ u(r,\theta)=
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}
\frac{r^2-R^2}{r^2+R^2-2Rr\cos(\theta-\alpha)}\,
\varphi(\alpha)\,d\alpha,
\qquad r>R. $$ 当 $r\to\infty$ 时，有界性来自于 $$ u(r,\theta)=v!\left(\frac{R^2}{r},\theta\right)\to v(0,\theta). $$ 故外部 Dirichlet 问题的解即为上述 Poisson 表达式。
证明
课本外
证明上半平面的 poisson 公式给出上半平面 laplace 方程 Dirichlet 问题的解.
给定边界函数 $f$，Poisson 公式
$
u(x,y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} P(x,y;\xi)\,f(\xi)\,d\xi
$
给出候选解。 (1) 证明调和性：
直接计算可得 Poisson 核满足
$
\Delta_{x,y} P(x,y;\xi)=0 \qquad (y>0).
$ 因此
$
\Delta u(x,y)=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\,\Delta P(x,y;\xi)\,d\xi=0.
$ (2) 证明边界条件：
Poisson 核满足逼近单位性质 $$ \int_{-\infty}^{\infty} P(x,y;\xi)\,d\xi=1,\qquad
P(x,y;\xi)\to \delta(x-\xi)\quad (y\to0^+). $$ 于是对连续的 $f$，有 $$ u(x,y)\to f(x) \quad (y\to0^+). $$证明