20251112
姓名: 刘欣楠
序号: 12
班级: 数学强基 2301
学号: 2233310237
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\node[anchor=north east]
at ($(current page.north east)+(-25mm,-50mm)$)
{
};
\end{tikzpicture}
1.1
求函数 $f(x) = \begin{cases} 0 & (|x| > a) \\ |x| & (|x| \le a) \end{cases}$ 的傅里叶变换.
$$ \widehat f(k)=2\int_0^a x\cos(kx)\,dx
=2\Big[\frac{x\sin(kx)}{k}\Big]_0^a-2\int_0^a\frac{\sin(kx)}{k}\,dx
=\frac{2a\sin(ka)}{k}+\frac{2(\cos ka-1)}{k^2}. $$证明
1.3
求函数 $f(x) = \begin{cases} \sin\lambda_0x & (|x| \le a) \\ 0 & (|x|>a) \end{cases}$ 的傅里叶变换.
$$ \widehat f(k)=\int_{-a}^{a}\sin(\lambda_0x)e^{-ikx}\,dx
=\frac{\sin((\lambda_0-k)a)}{\lambda_0-k}
+\frac{\sin((\lambda_0+k)a)}{\lambda_0+k}. $$证明
1.5
求 $f(x)=\cos x\,e^{-a|x|}$ ($a>0$) 的傅里叶变换.
$$ \mathcal F{e^{-a|x|}}(k)=\frac{2a}{a^2+k^2}. $$ 写 $\cos x=\frac12(e^{ix}+e^{-ix})$ 得 $$ \widehat f(k)=\frac12\big[\widehat{e^{-a|x|}}(k-1)+\widehat{e^{-a|x|}}(k+1)\big]
=a\Big[\frac{1}{a^2+(k-1)^2}+\frac{1}{a^2+(k+1)^2}\Big]. $$证明
2.2
利用性质求 $f(x)=x e^{-a|x|}$ ($a>0$) 的傅里叶变换.
$$ \mathcal F{e^{-a|x|}}(k)=\frac{2a}{a^2+k^2}. $$ 乘 $x$ 对应频域 $i\partial_k$，故 $$ \widehat f(k)=i\frac{d}{dk}\Big(\frac{2a}{a^2+k^2}\Big)
=-\frac{4iak}{(a^2+k^2)^2}. $$证明
2.3
求 $f(x)=e^{i\mu x}$ 在 $|x|<a$ 时等于该指数，在外为 0 的傅里叶变换.
$$ \chi_{(-a,a)}(x)=\mathrm{rect}(x/2a),
\qquad
\mathcal F{\mathrm{rect}(x/2a)}(k)=2a\,\mathrm{sinc}(ak). $$ 调制 $e^{i\mu x}$ 只造成频移 $$ \widehat f(k)=2a\,\mathrm{sinc}(a(k-\mu))
=\frac{2\sin(a(k-\mu))}{k-\mu}. $$证明
2.5
求 $f(x)=e^{i\lambda_0 x}$ 在 $|x|<L$ 时为该指数，在外为 0.
$$ \widehat f(k)=\int_{-L}^{L}e^{i(\lambda_0-k)x}\,dx
=\frac{2\sin((\lambda_0-k)L)}{\lambda_0-k}. $$证明
2.7
求 $\dfrac{1}{a^2+x^2}$ ($a>0$) 的傅里叶变换.
$$ \mathcal F{e^{-a|x|}}(k)=\frac{2a}{a^2+k^2},
\qquad
\mathcal F\Big{\frac{2a}{a^2+x^2}\Big}(k)=2\pi e^{-a|k|}. $$ 故 $$ \mathcal F\Big{\frac{1}{a^2+x^2}\Big}(k)=\frac{\pi}{a}e^{-a|k|}. $$证明
4.1
使用傅里叶变换求解初值问题:
$$
\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}-b\,u_x-c\,u=f(x,t), & -\infty<x<\infty,\ t>0,\ $$ 2pt] u|_{t=0}=\varphi(x), & -\infty<x<\infty. \end{cases}
$$
$$ \mathcal F{u_x}=ik\,\widehat u,\qquad \mathcal F{u_{xx}}=-k^2\,\widehat u $$ 得常微分方程 $$ \partial_t\widehat u+\big(a^2k^2-ibk-c\big)\widehat u=\widehat f(k,t),
\qquad \widehat u(k,0)=\widehat\varphi(k). $$ 积分因子 $e^{(a^2k^2-ibk-c)t}$，解为 $$ \widehat u(k,t)=e^{-(a^2k^2-ibk-c)t}\,\widehat\varphi(k)
+\int_0^t e^{-(a^2k^2-ibk-c)(t-s)}\,\widehat f(k,s)\,ds. $$ 逆变换即得 $$ u(x,t)=\mathcal F^{-1}!\left{e^{-(a^2k^2-ibk-c)t}\widehat\varphi(k)\right}
+\int_0^t \mathcal F^{-1}!\left{e^{-(a^2k^2-ibk-c)(t-s)}\widehat f(k,s)\right}ds. $$证明
5.2
在 $\mathcal D'(-\infty,\infty)$ 中证明
$$
\varphi(x)\delta'(x)=-\varphi'(0)\delta(x)+\varphi(0)\delta'(x),\qquad \varphi\in C^\infty(\mathbb R).
$$
$$ \langle \varphi\delta',\psi\rangle=\langle \delta',\varphi\psi\rangle
=-(\varphi\psi)'(0)=-\varphi'(0)\psi(0)-\varphi(0)\psi'(0)
=\langle -\varphi'(0)\delta+\varphi(0)\delta',\psi\rangle. $$ 故结论成立。
证明
6.1
计算 $(|x|)^{(m)}$，其中 $m\ge1$.
$$ (|x|)''=2\delta,\qquad (|x|)^{(m)}=2\,\delta^{(m-2)}\ (m\ge2). $$ 综上 $$ (|x|)^{(m)}=
\begin{cases}
\operatorname{sgn}x,& m=1,\
$$
2pt]
2\,\delta^{(m-2)}(x),& m\ge2.
\end{cases} $$证明
6.3
计算 $(H(x)e^{ax})''$.
$$ (H e^{ax})'=\delta+aH e^{ax},\qquad
(H e^{ax})''=\delta'+a\delta+a^2 H e^{ax}. $$证明
7.1
求
$$
f(x)=\begin{cases}\sin x,& x\ge0,\ 0,& x<0\end{cases}
$$
的广义导数 $f'_\bullet$.
$$ f'_\bullet=\delta\sin0+H(x)\cos x=H(x)\cos x. $$证明
7.3
求
$$
f(x)=\begin{cases}x^2,& |x|\le1,\ 0,& |x|>1\end{cases}
$$
的广义导数 $f'_\bullet$.
$$ [f]{x=-1}=1,\qquad [f]=-1. $$ 故 $$ f'\bullet(x)=2x\,\chi(x)+\delta(x+1)-\delta(x-1)
=2x\,[H(x+1)-H(x-1)]+\delta(x+1)-\delta(x-1). $$证明