一阶线性方程的特征线解法
逐点求解 $\forall x_0,t_0$ 考虑曲线 $l:\begin{cases}
\frac{\text{d} x}{\text{d} t}=a(x)\\
x(0)=c_0
\end{cases}$ 过 $(x_0,t_0)$, 可以求出 $c_0=g(x_0,t_0)$. 将 $u$ 视作只关于 $t$ 的函数, 则在该曲线上满足 $\frac{\text{d} u}{\text{d} t}=u_t+a(x)u_x=f(x,t)$. 此时 $x=x(t)$ 由 $l$ 给出. 故可求解 ODE
$$
\frac{\text{d} u}{\text{d} t}=f(x(t),t)
$$
满足初值 $u(x(0),0)=\varphi(x(0))$, 即可求得 $u(x_0,t_0)$. 仅由 $x_0,t_0$ 表示, 从而可以写作 $u(x,t)$.
定义 2.2.1
对初值问题 $$\begin{cases}
u_t+a(x)u_x=f(x,t),\\
u(x,0)=\varphi(x)
\end{cases}$$ 求解 $u(x,t)$.