定义 1.2.1
设 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 是区域, 定义在 $\Omega$ 上的无穷次可微且在边界上为零的函数记作 $C_0^\infty(\Omega)$.
特别的, 在二维平面中, 我们可以固定 $k$, 使得
$$
\iint_{\mathbb{R}^2}\rho(x,y)\text{d} x\text{d} y=1
$$ 定义 $\rho_n(x,y)=n^2\rho(nx,ny)$. 从而有 $$\begin{aligned}
&\rho_n(x,y) \in C_0^\infty (\mathbb{R}^2)\\
&\iint_{\mathbb{R}^2} \rho_n(x,y)\text{d} x\text{d} y=1
\end{aligned}$$ 且 $\sqrt{x^2+y^2}\geqslant \frac 1 n$ 时 $\rho_n=0$.
例 1.2.2
对定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的函数.
$$\rho(x)=\begin{cases}
ke^{-1/(1-|x|)},\quad& |x|<1 \\
0,\quad & |x|\geqslant 1
\end{cases}$$
引理 1.2.3
设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中有界区域, $f(x,y)$ 在 $\Omega$ 上连续
极小曲面问题
定义 1.2.4