4.2 极值原理

设满足 $Lu=f<0$, 则 $u$ 不能在 $\Omega$ 内达到它在 $\overline{\Omega}$ 上的非负最大值.

满足 $Lu=f\leqslant 0$, 则 $u$ 在 $\overline{\Omega}$ 上的非负最大值必在 $\partial\Omega$ 上达到, 即 $$ \sup\limits_{x\in\overline{\Omega}}u(x)\leqslant\sup\limits_{x\in\partial\Omega}u^+(x) $$ 其中 $u^+(x)=\max\{u(x),0\}$.

设 $S$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个球, 在 $S$ 上 $c(x)\geqslant 0$ 且有界, 如果 $u\in C^1(\overline{ S})\cap C^2(S)$ 且满足条件 - (1) $Lu\leqslant 0$; - (2) $x^0\in\partial S, u(x^0)\geqslant 0$ 且当 $x\in S $ 时 $u(x)<u(x^0)$ 则有 $$ \frac{\partial u}{\partial \vec \nu}\big|_{x=x^0}>0, $$ 其中 $\vec\nu$ 与 $\partial S$ 在 $x^0$ 的单位外法向量 $\vec n$ 的夹角小于 $\frac{\pi} {2}$.

设 $\Omega$ 是有界连通开区域, 在 $\Omega$ 上 $c(x)\geqslant 0$ 且有界, $u\in C(\overline{\Omega})\cap C^2(\Omega)$ 并满足 $Lu\leqslant 0$, 如果 $u$ 在内部达到非负最大值, 则 $u$ 恒为常数.