基本解与 Green 函数
📝定义 4.1.1
如果
$U\in L_{loc}(\mathbb{R}^n)$ 在广义函数意义下满足
$$
-\Delta U=\delta(x-\xi),\quad x,\xi\in\mathbb{R}^n
$$
即对任意
$\varphi\in\mathscr D(\mathbb{R}^n)$, 有
$$
\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n} U(-\Delta\varphi)\text{d} x=\varphi(\xi)
$$
则称
$U$ 为
$n$ 维 Laplace 方程的一个基本解, 记为
$\Gamma(x;\xi)$.
$$\Gamma(x;\xi)=\begin{cases}
\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{|x-\xi|}, & n=2\\
\frac{1}{(n-2)\omega_n}\cdot\frac{1}{|x-\xi|^{n-2}}, & \omega_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}, n\geqslant 3
\end{cases}$$
下面的讨论以 $n=2$ 为例.
💡定理 4.1.2 Green 公式
设 $\partial \Omega$ 分段光滑, $u,v\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$, 则有以下 Green 公式
$$
\iint_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\text{d} x\text{d} y=\int_{\partial \Omega}\left(u\frac{\partial v}{\partial \vec n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)\text{d} l
$$
其中 $\frac{\partial u}{\partial \vec n}=\nabla u\cdot n$.
💡定理 4.1.3
设 $\partial\Omega$ 分段光滑, $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$, 则
$$
u(\xi,\eta)=-\iint_\Omega \Gamma(x,y;\xi,\eta)\Delta u(x,y)\text{d} x\text{d} y+\int_{\partial\Omega}\left[\Gamma(x,y;\xi\eta)\frac{\partial u(x,y)}{\partial\vec n}-\frac{\partial\Gamma(x,y;\xi,\eta)}{\partial\vec n}u(x,y)\right]\text{d} l.
$$